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Problema resuelto paso a paso

Una pelota que cae

El problema

Una pelota de 0.5 kg se suelta desde 10 m de altura ( $g = 9.8$ m/s²). Sin considerar la fricción del aire, ¿cuánta energía potencial tiene arriba, cuánta energía cinética tiene justo antes de tocar el suelo y con qué velocidad llega?

1. Comprendamos el problema

Arriba, la pelota está quieta pero tiene energía guardada por estar alta (energía potencial). Al caer, esa energía se va convirtiendo en energía de movimiento (energía cinética). Si no hay fricción, no se pierde energía: solo se transforma.

2. Datos que conocemos

Masa $m$: 0.5 kg
Altura $h$: 10 m
Gravedad $g$: 9.8 m/s²
Velocidad inicial: 0 m/s (se suelta)
Lo que queremos encontrar: La energía potencial arriba $E_p$ , la energía cinética abajo $E_c$ y la velocidad final $v$ .

3. La fórmula que usaremos

E_p = m\,g\,h \qquad E_c = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2

$E_p$ = energía potencial (J)
$E_c$ = energía cinética (J)
$h$ = altura (m)
$v$ = velocidad (m/s)

¿Por qué esta fórmula?

Usamos la conservación de la energía: la energía potencial que tiene arriba es la que se convierte en energía cinética abajo. Así, primero calculamos $E_p$ , la igualamos con $E_c$ y de ahí despejamos la velocidad.

4. Resolvemos paso a paso

Paso 1 · Energía potencial arriba
Multiplica en orden: $0.5 \times 9.8 = 4.9$ y luego $4.9 \times 10 = 49$ .
$E_p = 0.5 \times 9.8 \times 10 = 49\ \text{J}$
Paso 2 · Energía cinética abajo
Justo antes de tocar el suelo la altura es 0, así que toda la energía potencial se convirtió en cinética.
$E_c = E_p = 49\ \text{J}$
Paso 3 · Plantea la ecuación de la velocidad
Sustituimos en $E_c = \tfrac{1}{2} m v^2$ . Como $\tfrac{1}{2} \times 0.5 = 0.25$ :
$49 = \tfrac{1}{2} \times 0.5 \times v^2 = 0.25\,v^2$
Paso 4 · Despeja v²
Dividimos ambos lados entre 0.25 (dividir entre 0.25 es lo mismo que multiplicar por 4).
$v^2 = \dfrac{49}{0.25} = 196$
Paso 5 · Saca raíz cuadrada
Buscamos el número que multiplicado por sí mismo da 196: $14 \times 14 = 196$ .
$v = \sqrt{196} = 14\ \text{m/s}$

Resultado

E_p = 49\ \text{J} \quad E_c = 49\ \text{J} \quad v = 14\ \text{m/s}

La energía no desaparece: los 49 J de energía potencial se transforman en 49 J de energía cinética, y la pelota llega al suelo a 14 m/s (unos 50 km/h).

5. Revisemos las unidades

Unidades: $\text{kg} \cdot \text{m/s}^2 \cdot \text{m} = \text{J}$ ✓. Para la velocidad: $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}} = \dfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$ y su raíz es m/s ✓. Comprobación: $\tfrac{1}{2} \times 0.5 \times 14^2 = 0.25 \times 196 = 49$ J ✓. En la realidad el aire frena un poco, así que llegaría un poco más lenta.

6. En la vida diaria

Las montañas rusas funcionan así: el carrito sube muy alto (mucha energía potencial) y al bajar la transforma en velocidad. También las presas hidroeléctricas: el agua que cae desde lo alto mueve turbinas que generan electricidad.

7. Ahora tú

Una piedra de 2 kg se deja caer desde 5 m ( $g = 9.8$ m/s², sin fricción). ¿Cuánta energía potencial tiene arriba y con qué velocidad llega al suelo?