Video · Matemáticas 2° de Secundaria — Gentiax

Leyes de los exponentes y notación científica

Lección 1 de 16

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Objetivo

Aplicar las leyes de los exponentes y expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas en notación científica.

14 min

Leyes de los exponentes (con la misma base a ≠ 0):

Producto: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Cociente: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Potencia de potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ
Exponente cero: a⁰ = 1
Exponente negativo: a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Leyes de los exponentes

Problema resuelto paso a paso

Simplificar 2³ · 2⁵ ÷ 2⁴

El problema

Simplifica la expresión $2^3 \cdot 2^5 \div 2^4$ y encuentra su valor.

1. Comprendamos el problema

Tenemos varias potencias con la misma base (el 2) que se multiplican y se dividen. En lugar de calcular cada potencia por separado, usaremos las leyes de los exponentes para juntarlas en una sola potencia y después calcularla.

2. Datos que conocemos

Base común: $2$
Exponentes: $3$ , $5$ y $4$
Operaciones: multiplicación y división
Lo que queremos encontrar: El valor de $2^3 \cdot 2^5 \div 2^4$ , primero como una sola potencia y luego como número.

3. La fórmula que usaremos

a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad a^m \div a^n = a^{m-n}

$a$ = la base (el número que se multiplica por sí mismo)
$m,\ n$ = los exponentes (cuántas veces se multiplica la base)

¿Por qué esta fórmula?

¿Por qué se suman los exponentes al multiplicar? Porque $2^3 \cdot 2^5$ es $(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)$ : en total hay $3 + 5 = 8$ doses multiplicados. Y al dividir se restan porque cada 2 del divisor se cancela con un 2 del dividendo. Estas leyes solo funcionan cuando la base es la misma.

4. Resolvemos paso a paso

Paso 1 · Multiplica las dos primeras potencias
Tienen la misma base, así que conservamos el 2 y sumamos los exponentes: $3 + 5 = 8$ .
$2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$
Paso 2 · Divide entre la tercera potencia
Ahora dividimos $2^8$ entre $2^4$ : conservamos la base y restamos los exponentes, $8 − 4 = 4$ .
$2^8 \div 2^4 = 2^{8-4} = 2^4$
Paso 3 · Calcula la potencia
$2^4$ significa multiplicar el 2 cuatro veces por sí mismo. Hazlo poco a poco: $2 \cdot 2 = 4$ , luego $4 \cdot 2 = 8$ y luego $8 \cdot 2 = 16$ .
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

Resultado

2^3 \cdot 2^5 \div 2^4 = 2^4 = 16

Toda la expresión se reduce a una sola potencia, $2^4$ , que vale 16.

5. Revisemos las unidades

Comprobamos haciendo las cuentas completas: $2^3 = 8$ , $2^5 = 32$ y $2^4 = 16$ . Entonces $8 \cdot 32 = 256$ y $256 \div 16 = 16$ ✓. Coincide, así que aplicamos bien las leyes.

6. En la vida diaria

Las potencias de 2 están en la tecnología: la memoria de los celulares y computadoras se organiza en potencias de 2 (por ejemplo, $2^{10} = 1\,024$ ). Las leyes de los exponentes permiten hacer estas cuentas rápido, sin multiplicar número por número.

7. Ahora tú

Simplifica $3^4 \cdot 3^2 \div 3^3$ y calcula su valor.

Problema resuelto paso a paso

Notación científica

El problema

La distancia media de la Tierra al Sol es de unos 150 000 000 km, y un grano de arena puede medir 0.0004 m (0.4 mm). Escribe ambos números en notación científica.

1. Comprendamos el problema

Son números muy grandes o muy pequeños, con muchos ceros, y es fácil leerlos o copiarlos mal. La notación científica los escribe de forma corta: un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10.

2. Datos que conocemos

Distancia Tierra–Sol: 150 000 000 km
Grano de arena: 0.0004 m
Lo que queremos encontrar: Los dos números escritos en la forma $a \times 10^n$ .

3. La fórmula que usaremos

a \times 10^{n}, \qquad 1 \le a < 10

$a$ = número mayor o igual que 1 y menor que 10 (una sola cifra antes del punto)
$n$ = cuántos lugares se movió el punto: positivo si el número es grande, negativo si es menor que 1

¿Por qué esta fórmula?

Cada vez que movemos el punto decimal un lugar a la izquierda, el número queda dividido entre 10; para que no cambie su valor, lo multiplicamos por 10. Por eso el exponente cuenta cuántos lugares se movió el punto.

4. Resolvemos paso a paso

Paso 1 · Mueve el punto en el número grande
En 150 000 000 el punto está al final (150 000 000.). Lo movemos a la izquierda hasta que quede una sola cifra antes de él: queda 1.5 (los ceros del final ya no hacen falta).
Paso 2 · Cuenta los lugares
Cuenta las cifras que quedaron después del 1: 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 → el punto se movió 8 lugares. Como el número original es grande, el exponente es positivo.
$150\,000\,000 = 1.5 \times 10^{8}$
Paso 3 · Ahora el número pequeño
En 0.0004 movemos el punto a la derecha hasta pasar el 4: 0.0004 → 4. Se movió 4 lugares. Como el número es menor que 1, el exponente es negativo.
$0.0004 = 4 \times 10^{-4}$

Resultado

150\,000\,000\ \text{km} = 1.5 \times 10^{8}\ \text{km} \qquad 0.0004\ \text{m} = 4 \times 10^{-4}\ \text{m}

Son los mismos números, escritos de forma corta. El exponente positivo indica un número grande; el negativo, uno menor que 1.

5. Revisemos las unidades

Regresa al número original: $1.5 \times 10^8 = 1.5 \times 100\,000\,000 = 150\,000\,000$ ✓ y $4 \times 10^{-4} = 4 \div 10\,000 = 0.0004$ ✓. Las unidades (km y m) no cambian: la notación científica solo cambia la forma de escribir el número.

6. En la vida diaria

Científicas y científicos la usan todo el tiempo: la masa de la Tierra es de unos $6 \times 10^{24}$ kg y una bacteria mide alrededor de $1 \times 10^{-6}$ m. Las calculadoras la muestran con la letra E: 1.5E8 significa $1.5 \times 10^8$ .

7. Ahora tú

Escribe en notación científica: a) 3 400 000 y b) 0.00052.

La notación científica mide desde átomos hasta galaxias

Palabras clave

Base
Número que se multiplica por sí mismo
Exponente
Indica cuántas veces se multiplica la base
Potencia
Resultado de elevar una base a un exponente
Notación científica
Forma de escribir números como a × 10ⁿ, con 1 ≤ a < 10

Octavas y potencias de 2

Piano · 72 pulsos por minuto · 8 s

Cinco notas La, cada una una octava más aguda. El La4 vibra a 440 Hz; subir una octava multiplica la frecuencia por 2: La5 = 440 · 2¹ = 880 Hz y La6 = 440 · 2² = 1 760 Hz. Bajar divide entre 2: La3 = 440 · 2⁻¹ = 220 Hz y La2 = 440 · 2⁻² = 110 Hz.

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