Video · Matemáticas 3° de Secundaria — Gentiax

Teorema de Pitágoras

Lección 6 de 16

Aprende
Practica
Resultado

Objetivo

Calcular lados de triángulos rectángulos con el teorema de Pitágoras y aplicarlo a problemas.

14 min

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

c² = a² + b²

Teorema de Pitágoras: encontrar la hipotenusa

Problema resuelto paso a paso

Calcular la hipotenusa

El problema

Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 cm y 8 cm. ¿Cuánto mide su hipotenusa?

1. Comprendamos el problema

Los catetos son los dos lados que forman el ángulo recto; la hipotenusa es el lado opuesto a ese ángulo y siempre es el más largo. Conocemos los catetos y queremos la hipotenusa: es justo lo que relaciona el teorema de Pitágoras.

2. Datos que conocemos

Cateto $a$: 6 cm
Cateto $b$: 8 cm
Ángulo entre ellos: 90°
Lo que queremos encontrar: La hipotenusa $c$ , en centímetros.

3. La fórmula que usaremos

c^2 = a^2 + b^2

$a, b$ = catetos (forman el ángulo recto)
$c$ = hipotenusa (opuesta al ángulo recto)

¿Por qué esta fórmula?

Si dibujas un cuadrado sobre cada lado, el área del cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los catetos. Solo se cumple en triángulos rectángulos, y aquí tenemos uno.

4. Resolvemos paso a paso

Paso 1 · Sustituir los catetos
Ponemos $a = 6$ y $b = 8$ en la fórmula.
$c^2 = 6^2 + 8^2$
Paso 2 · Elevar al cuadrado
Elevar al cuadrado es multiplicar el número por sí mismo: $6 \cdot 6 = 36$ y $8 \cdot 8 = 64$ . (No es multiplicar por 2.)
$c^2 = 36 + 64$
Paso 3 · Sumar
Sumamos las dos áreas.
$c^2 = 100$
Paso 4 · Sacar la raíz cuadrada
Tenemos $c^2$ , pero buscamos $c$ . La operación inversa de elevar al cuadrado es la raíz cuadrada: $\sqrt{100} = 10$ porque $10 \cdot 10 = 100$ . Tomamos el valor positivo porque es una longitud.
$c = \sqrt{100} = 10$

Resultado

c = 10\text{ cm}

La hipotenusa mide 10 cm.

5. Revisemos las unidades

Unidades: al elevar cm al cuadrado obtuvimos cm²; la raíz cuadrada nos regresa a cm ✓. Sentido: la hipotenusa (10 cm) es mayor que cada cateto (6 y 8 cm), pero menor que su suma (14 cm) ✓.

6. En la vida diaria

Si un parque rectangular mide 60 m por 80 m, cruzarlo en diagonal es caminar $\sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{10\,000} = 100$ m, en lugar de $60 + 80 = 140$ m rodeándolo: te ahorras 40 m.

7. Ahora tú

Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de 5 cm y 12 cm.

Problema resuelto paso a paso

¿A qué altura llega una escalera?

El problema

Una escalera de 5 m se apoya en una pared y su base está a 1.4 m de la pared. ¿A qué altura de la pared llega la escalera?

1. Comprendamos el problema

La pared, el piso y la escalera forman un triángulo rectángulo (la pared es perpendicular al piso). La escalera es el lado opuesto al ángulo recto: la hipotenusa. La distancia en el piso y la altura en la pared son los catetos. Ahora conocemos la hipotenusa y un cateto, y buscamos el otro.

2. Datos que conocemos

Hipotenusa $c$ (escalera): 5 m
Cateto $a$ (piso): 1.4 m
Lo que queremos encontrar: La altura $h$ (el otro cateto), en metros.

3. La fórmula que usaremos

c^2 = a^2 + h^2 \;\Rightarrow\; h^2 = c^2 - a^2

$c$ = hipotenusa: la escalera
$a$ = cateto en el piso
$h$ = cateto en la pared (altura)

¿Por qué esta fórmula?

Es el teorema de Pitágoras. Como ahora la incógnita es un cateto, despejamos: restamos $a^2$ en ambos lados para dejar sola a $h^2$ .

4. Resolvemos paso a paso

Paso 1 · Sustituir en la fórmula
Ponemos $c = 5$ y $a = 1.4$ .
$5^2 = 1.4^2 + h^2$
Paso 2 · Elevar al cuadrado
$5 \cdot 5 = 25$ y $1.4 \cdot 1.4 = 1.96$ (14 × 14 = 196 y recorremos dos lugares decimales).
$25 = 1.96 + h^2$
Paso 3 · Despejar h²
Restamos 1.96 en ambos lados para que $h^2$ quede sola.
$25 - 1.96 = h^2 \;\Rightarrow\; h^2 = 23.04$
Paso 4 · Sacar la raíz cuadrada
La operación inversa del cuadrado es la raíz: $\sqrt{23.04} = 4.8$ . Verificamos: $4.8 \cdot 4.8 = 23.04$ ✓.
$h = \sqrt{23.04} = 4.8$

Resultado

h = 4.8\text{ m}

La escalera llega a 4.8 m de altura en la pared.

5. Revisemos las unidades

Unidades: m² dentro de la raíz → m ✓. Sentido: la altura (4.8 m) es menor que la escalera (5 m), como debe ser para un cateto ✓. Comprobación: $1.4^2 + 4.8^2 = 1.96 + 23.04 = 25 = 5^2$ ✓.

6. En la vida diaria

Antes de subir a pintar o a limpiar un tinaco, conviene saber hasta dónde llega la escalera. Si necesitas alcanzar más altura, acerca un poco la base a la pared, pero sin pegarla demasiado, porque la escalera se vuelve inestable.

7. Ahora tú

Una escalera de 2.5 m tiene su base a 0.7 m de la pared. ¿A qué altura llega?

Palabras clave

Hipotenusa
El lado más largo del triángulo rectángulo, opuesto al ángulo de 90°.
Catetos
Los dos lados que forman el ángulo recto.
Terna pitagórica
Tres enteros que cumplen el teorema: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17.

Estás viendo una vista previa gratuita

Tus respuestas no se guardan aquí. Las alumnas y los alumnos avanzan y ganan estrellas desde su espacio. Volver al curso