Lección · Matemáticas 3° de Secundaria — Gentiax

Productos notables y factorización

Lección 1 de 16

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Objetivo

Desarrollar productos notables y factorizar expresiones algebraicas.

15 min

Productos notables más usados:

Binomio al cuadrado: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Binomios conjugados: (a + b)(a − b) = a² − b²
Binomios con término común: (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

Factorizar es el proceso inverso: escribir una expresión como producto.

Problema resuelto paso a paso

Desarrollar $(x + 5)^2$

El problema

Desarrolla el binomio al cuadrado $(x + 5)^2$ y escribe el resultado como un trinomio.

1. Comprendamos el problema

Elevar al cuadrado significa multiplicar algo por sí mismo: $(x + 5)^2 = (x + 5)(x + 5)$ . Nos piden quitar el paréntesis y escribir la expresión como una suma de términos. Como es un binomio al cuadrado, podemos usar la regla del producto notable en lugar de multiplicar término por término.

2. Datos que conocemos

Primer término ( $a$ ): $x$
Segundo término ( $b$ ): $5$
Exponente: $2$ (binomio al cuadrado)
Lo que queremos encontrar: El trinomio equivalente a $(x + 5)^2$ .

3. La fórmula que usaremos

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

$a$ = primer término del binomio
$b$ = segundo término del binomio
$2ab$ = doble producto del primero por el segundo

¿Por qué esta fórmula?

Sale de multiplicar $(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2$ . Como $ab$ y $ba$ son iguales, se juntan en $2ab$ . Usar la regla ahorra pasos y evita olvidar el término de en medio.

4. Resolvemos paso a paso

Paso 1 · Cuadrado del primer término
El primer término es $x$ . Lo multiplicamos por sí mismo: $x \cdot x = x^2$ .
$a^2 = x^2$
Paso 2 · Doble producto
Multiplicamos 2 por el primer término y por el segundo. Primero multiplicamos los números, $2 \cdot 5 = 10$ , y después ponemos la letra: $10x$ .
$2ab = 2 \cdot x \cdot 5 = 10x$
Paso 3 · Cuadrado del segundo término
El segundo término es 5: $5 \cdot 5 = 25$ . Es positivo porque todo cuadrado lo es.
$b^2 = 5^2 = 25$
Paso 4 · Juntar los tres términos
Sumamos los tres resultados, ordenados de mayor a menor exponente.
$(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$
Paso 5 · Comprobar multiplicando
Multiplicamos cada término del primer paréntesis por cada término del segundo: $x \cdot x = x^2$ , $x \cdot 5 = 5x$ , $5 \cdot x = 5x$ y $5 \cdot 5 = 25$ . Luego sumamos los términos semejantes: $5x + 5x = 10x$ .
$(x + 5)(x + 5) = x^2 + 5x + 5x + 25 = x^2 + 10x + 25 \;\checkmark$

Resultado

(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25

Es un trinomio cuadrado perfecto. Error común: $(x + 5)^2$ no es $x^2 + 25$ , porque faltaría el doble producto $10x$ .

5. Revisemos las unidades

Prueba con un número. Si $x = 1$ : $(1 + 5)^2 = 6^2 = 36$ , y $1^2 + 10(1) + 25 = 1 + 10 + 25 = 36$ . Ambos lados dan 36, así que el desarrollo es correcto.

6. En la vida diaria

Si un jardín cuadrado de $x$ metros por lado crece 5 m hacia la derecha y 5 m hacia arriba, su nueva área es $(x + 5)^2$ : el cuadrado original ( $x^2$ ), dos franjas de $5x$ cada una ( $10x$ ) y una esquina de 5 m × 5 m (25 m²).

7. Ahora tú

Desarrolla $(x + 3)^2$ .

Problema resuelto paso a paso

Factorizar $x^2 + 7x + 12$

El problema

Escribe el trinomio $x^2 + 7x + 12$ como un producto de dos binomios.

1. Comprendamos el problema

Factorizar es el camino inverso de multiplicar: buscamos dos paréntesis que, al multiplicarse, den exactamente $x^2 + 7x + 12$ . Como el término $x^2$ no tiene número delante (su coeficiente es 1), los binomios tendrán la forma $(x + m)(x + n)$ .

2. Datos que conocemos

Coeficiente de $x$: $7$
Término independiente: $12$
Coeficiente de $x^2$: $1$
Lo que queremos encontrar: Dos números $m$ y $n$ tales que $(x + m)(x + n) = x^2 + 7x + 12$ .

3. La fórmula que usaremos

x^2 + (m + n)x + mn = (x + m)(x + n)

$m, n$ = los dos números que buscamos
$m + n$ = debe ser igual al coeficiente de x (7)
$mn$ = debe ser igual al término independiente (12)

¿Por qué esta fórmula?

Es el producto notable de binomios con término común leído al revés: al multiplicar $(x + m)(x + n)$ se obtiene $x^2 + nx + mx + mn = x^2 + (m + n)x + mn$ . Por eso los números deben sumar 7 y multiplicar 12.

4. Resolvemos paso a paso

Paso 1 · Plantear las dos condiciones
Comparamos $x^2 + 7x + 12$ con $x^2 + (m + n)x + mn$ .
$m + n = 7 \qquad m \cdot n = 12$
Paso 2 · Decidir los signos
El producto (12) es positivo, así que $m$ y $n$ tienen el mismo signo. La suma (7) también es positiva, así que ambos son positivos.
Paso 3 · Probar los pares de factores de 12
Revisamos cada par que multiplicado da 12 y calculamos su suma:
- $1 \cdot 12$ : suma $1 + 12 = 13$ ✗
- $2 \cdot 6$ : suma $2 + 6 = 8$ ✗
- $3 \cdot 4$ : suma $3 + 4 = 7$ ✓
Paso 4 · Escribir la factorización
Con $m = 3$ y $n = 4$ :
$x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$
Paso 5 · Comprobar multiplicando
Multiplicamos término por término: $x \cdot x = x^2$ , $x \cdot 4 = 4x$ , $3 \cdot x = 3x$ , $3 \cdot 4 = 12$ . Sumamos los semejantes: $4x + 3x = 7x$ .
$(x + 3)(x + 4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12 \;\checkmark$

Resultado

x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

El trinomio es el producto de los binomios $(x + 3)$ y $(x + 4)$ .

5. Revisemos las unidades

Prueba con $x = 2$ : el trinomio da $2^2 + 7(2) + 12 = 4 + 14 + 12 = 30$ , y la factorización da $(2 + 3)(2 + 4) = 5 \cdot 6 = 30$ . Coinciden.

6. En la vida diaria

Si el área de un cartel rectangular se expresa como $x^2 + 7x + 12$ , factorizar te dice sus medidas: un lado mide $x + 3$ y el otro $x + 4$ . Así se pasa de una fórmula de área a las dimensiones reales para cortar el material.

7. Ahora tú

Factoriza $x^2 + 8x + 15$ .

Palabras clave

Binomio
Expresión algebraica con dos términos: x + 3.
Trinomio cuadrado perfecto
Resultado de elevar un binomio al cuadrado: x² + 6x + 9.
Diferencia de cuadrados
a² − b², que se factoriza como (a + b)(a − b).

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